轨迹

一次培训的放松环节，导师让我们在 5 分钟内，把一张纸撕成一个纸圈，围住我们所有人。

我做到了。

一张纸从中间开始撕，能撕成一个闭合的圈。如图：

从边上撕能得到纸条，而不是闭合的圈。如图：

从中间撕能得到一个圈，周长最大也只能是纸的周长，不能围住所有人。 从边上撕能得到一个纸条，只要撕得足够细，纸条可以就可以足够的长，首尾相连形成圈就能围住所有人了。 但是，怎么连呢？

对折！

对折后从中间撕一个口子，展开就是一个圈了。如图：

能不能把这个圈的周长变得更大一些呢？

能，对折后从折线一边开始，左右交替撕奇数个口子；把折线上除第一个和最后一个折痕撕开，展开就能得到周长更长的圈了。如图：

假设纸的周长是 d ，圈的周长是 D ，对折一次，左右交替撕奇数 $N = 2 * n - 1$ 个口子，那么纸圈的周长可以表示为：